在几何学中，这两种不同的情形可以用高斯曲率这个概念区分 。
原来，不论是山包还是山坳，它们的高斯曲率都是大于零的，而双曲面的高斯曲率却是小于零的 。
我们可以进一步证明[1]，指南车出去兜一圈回到原点，小人手臂是否偏离原来的方向，这取决于指南车巡游路线所包围的曲面中所有点上的高斯曲率的总和 。
这里面提到的高斯曲率是一个曲面的内禀性质，也就是不会随外界环境变化而改变的性质 。什么意思呢？比如一张纸，它展平的时候高斯曲率处处都等于零，那么无论你如何弯曲这张纸，只要不撕裂，它的高斯曲率始终是处处为零 。同样，球面的高斯曲率是大于零的，因此球面无论如何也无法被拍扁成一个平面 。
所以说，有了指南车这个神器，人们可以不必跳出大地便能测量大地的几何性质 。顺便说一下，几何（Geometry）这个词是希腊语词根Geo-意思是大地，metry意思是就是测量 。
空间有三个维度（上-下，左-右，前-后），时间有一个维度（过去-未来），合起来是一个3 1维的时空 。我们居住在其中，无论如何也跳不到一个更高维的空间去测量时空的形状 。因此，我们大多数人都很难理解，什么叫“弯曲的时空” 。即便如此，我们可以利用类似指南车的原理，不必跳出这个时空也能知道时空有没有“弯曲“ 。
陀螺仪就是时空里的“指南车” 。在平直的时空里，不受力矩的陀螺仪的转轴总能保持指向一个方向 。可是如果一个陀螺仪出去兜了一圈回来发现它的转轴居然偏离了原来的方向，这时候你就知道陀螺仪所处的时空有内禀的曲率，也就是说时空是弯曲的 。
陀螺仪 。图片来源：shutterstock
按照广义相对论，有质量的物体就会使它周围的时空弯曲 。因此，一个陀螺仪放在卫星上，绕着地球转几圈之后久能看到陀螺仪的转轴发生明显的转向 。这就是所谓的“测地线进动（Geodetic Precession）”，这种效应已经被NASA 2004年发射的卫星Gravity Probe B 所证实[2] 。
2004年发射的卫星Gravity Probe B 。图片来源：wikipedia
也许在“高维生物”的眼中，我们是匍匐在“地面上的渺小蚂蚁”，永远也无法离开“地面”看一眼“大地” 。但我们虽然渺小，却不卑微 。因为我们拥有智慧，能造出“指南车”，它让我们不必跳出“地面”便可以知道“大地”形状 。
作者名片
排版：小爽
题图来源：cbsnews
参考文献：
[1] 已经有研究证明，指南车小人手臂相对于车身的转动角度等于小车路径上的测地曲率的积分，而测地曲率的积分又可以用Gauss-Bonnet定律和高斯曲率的面积分联系起来 。参考：邓崇林 萧先雄 指南车在物理学中几何相位的应用- 《物理与工程》2014年 第S2期
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