圆周角定理的定理证明 _定理

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
【圆周角定理的定理证明】解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1

文章插图
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2

文章插图
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB 。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3

文章插图
扩展资料：
定理推论
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)
注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。