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向量减法有结合律吗？

生活百科结合律

【向量减法有结合律吗？】

向量减法有结合律吗？

文章插图
[编辑本段]向量的表示 1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示 。2、几何表示：向量可以用有向线段来表示 。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度 。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段 。） 3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底 。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a 。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y） 。这就是向量a的坐标表示 。其中（x，y）就是点P的坐标 。向量OP称为点P的位置向量 。[编辑本段]向量的模和向量的数量 向量的大小，也就是向量的长度(或称模) 。向量a的模记作|a| 。注： 1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的 。2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小 。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的 。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的 。[编辑本段]特殊的向量 单位向量 长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a| 。零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的 。相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b． 规定：所有的零向量都相等． 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取 。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量 。自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量 。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量 。数学中只研究自由向量 。滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量 。固定向量 作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量） 。位置向量 对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P 。[编辑本段]相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a 。有 -（-a）=a； 零向量的相反向量仍是零向量 。平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a‖b． 零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行． 平行于同一直线的一组向量是共线向量 。共面向量 平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量 。空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面 。只有三个或三个以上向量才谈共面不共面 。[编辑本段]向量的运算 设a=（x，y），b=(x'，y') 。1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 。AB+BC=AC 。a+b=(x+x'，y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣ 。当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意 。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0 。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍 。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb) 。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b 。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 。4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b 。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b 。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣ 。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y' 。向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方 。a⊥b 〈=〉a·b=0 。|a·b|≤|a|·|b| 。向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2 。2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c 。3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b 。5、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b 。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系 。若a、b共线，则a×b=0 。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积 。a×a=0 。a‖b〈=〉a×b=0 。向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的 。6、三向量的混合积 定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合积具有下列性质： 1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1） 2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c) 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号 。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ 。① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号 。定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点 。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比 。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ) 。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb 。a//b的重要条件是 xy'-x'y=0 。零向量0平行于任何向量 。[编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a·b=0 。a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0 。零向量0垂直于任何向量.

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