lnx导数,如何用定义求lnx的导数?( 二 )
和
分别发散至
可知 , 函数的值域为R 。虽然这与现代对数函数的运算法则和性质相符 , 但当时人们并没有意识到这就是对数函数 , 并且以e为底 。
接下来人们便开始考虑y=lnx的反函数的问题 。设y=lnx的反函数为x=f(y) , 由反函数的求导法则可知 ,
如果用x来表示自变量 , y来表示因变量 , 那么自然对数的反函数y=f(x)满足一个非常重要的性质:
即这个函数求导后仍得到它本身 , 并且当x=0时 , y=1 , 我们把这个函数写作
。
由反函数的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函数 , 其值域为(0, ∞) 。由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1 , 我们便可不断地重复该步骤 , 通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数:
那为什么后来人们会发现
呢?这是因为当人们在求指数函数y=ax的导数时 , 采用了这样的方法:
根据复合函数的求导法则 ,
。当a=e时 ,
。利用
, 结合归结原则有
, 于是:
所以:
由于
与
求导以后都得到
, 根据原函数的性质 ,
, C为积分常数 。将x=0代入等式两端 , 有1=1 C , C=0 , 即证明了
。
又利用 , 得到了
令x=1 , 则又得到了一个关于e的定义式:
当然 , 根据
, 也可以将e定义为使
的x的取值 。
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