三角形内角和一定是180度吗？ _小知识

三角形内角和为180° ，这其实是平面几何的必然成果，也是《几何原本》中第五公设的推论；若是分开了平面几何，好比在一些曲面上，三角形的内角和是可以不等于180°的。
我们有良多方式，来证实平面内三角形内角和为180° ，也就是一个平角的角度，可是无论我们用到什么方式，素质上都用到了欧几里得第五公设或者是第五公设的等价道理。

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这此中隐含的道理，数学家们摸索了两千多年，若是你不利用第五公设（或者等价道理），你是不成能证实三角形内角和为180°的。
公元前300年前后，闻名古希腊数学家欧几里得创作了《几何原本》，书中以23条界说、五个正义和五个公设为根本，以严密的数学逻辑推导出467个定理，奠基了平面几何的根本。

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正义是指人类按照实际经验得出，无需自证的根基事实，《几何原本》中的五个正义包罗：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，和相等。
3.等量减等量，差相等。
4.彼此重合的图形是全等的。
5.整体大于部门。
公设也是指无需自证的根基事实，可是比拟于正义来说，公设更有深度一些，近代数学中公设等价于正义，《几何原本》中的五个公设包罗：
1.过两点能作且只能作一条直线。
2.线段可以无限耽误。
3.以任一点为圆心，肆意长为半径可作一圆。
4.直角都相等。
5.平面内一条直线和两条直线订交，若在直线同侧的两个内角之和小于180° ，则这两条直线无限耽误后在这一侧必然订交。
五个公设中的前四个很轻易理解，根基上也不会有争议，可是赫赫有名的第五公设可折腾了数学家两千多年，因为第五公设看起来怎么也不像不证自明，固然欧几里得极尽削减第五公设的说话描述，可是第五公设比前面四个公设加起来还长。

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因为第五公设素质上与“平行线不订交”等价，所以第五公设也叫做平行公设，汗青上有良多人试图用前面四个公设来证实第五公设，但都掉败了。固然有一些人传播鼓吹完当作了证实，可是在证实过程中，都不经意地引入了第五公设的等价命题，好比平行线不订交、三角形内角和为两个直角等等。

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欧几里得在著作《几何原本》时，必定也注重到了这个问题，相信他也做过近似的测验考试，以至于第五公设在《几何原本》中直到命题29才起首被利用，并且这个命题必需得利用第五公设才能完当作证实。
命题29：一条直线与两条平行直线订交，则所当作的内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于180° 。
在1795年，英国数学家普莱费尔提出了一条和第五公设等价的描述，既“过直线外一点，能且只能做一条平行线” ，该描述比《几何原本》中的描述简单良多，被称作普莱费尔正义。

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直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米，才起首证实第五公设自力于前面四条公设，并且第五公设的否认描述也是自洽的，也就是说欧氏几何与非欧几何是两个分歧的几何系统。
其实早在贝尔特拉米之前，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就已经发现了第五公设不成证，此刻我们把非欧几何中的双曲几何，也称作罗巴切夫斯基几何。