线性代数到底应该怎么学？( 二 ) _小知识

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到数域

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的映射，即：

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若是我们按照一阶行列式，二阶行列式的公式，递归的界说行列式

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可以证实(3)是独一知足如下前提的映射：
1）将单元矩阵

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映射为 1
2)

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此中省略号的行标的目的量都是一样的；
3) 若是矩阵

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相邻的行标的目的量不异，那么

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用行列式，线性相关，基，秩这些概念，我们便可以成立起关于方程

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的有解的判别前提，以及解的布局的定理，这些尺度的教材里都有，就不再赘述了。值得注重的是，若是我们将这套理论，移植到可微函数构成的线性微分方程组，我们也可以机关近似的命题，这申明我们可以将矩阵和标的目的量做更为一般的推广。
2. 案例 2 ，线段扭转与线性变换
若是读者用过 PS 或者 PPT 的时辰，会发现里面的那些外形其实都是用坐标描述的，于是我们便可以将其视作

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的一个子空间。考虑一个简单的问题，我们需要对 PS 里位于坐标原点的一段线段逆时针扭转必然的角度， PS 是若何实现这个功能的呢？很简单，我们只需要对这段线段对应的标的目的量进行坐标变换就好了。若是进行变换呢？若是我们将方程（2）视作将标的目的量 x 变换为标的目的量 b ，那么我们可以把矩阵 A“视作”一个变换。那么我们只要用一个二阶矩阵来暗示扭转变换就好了，这个二阶矩阵，可所以

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扭转变换是更为称为线性变换的具体案例，并且不改变线段的长度（连结距离）。此外，我们可以想象，若是一个标的目的量的偏向与扭转的偏向一致，那么扭转变换是不会改变其偏向的（这个标的目的量就是所谓特征标的目的量）。
尺度的线性代数教材的后半部门，很大水平上是对这个线段扭转问题的扩展。矩阵的特征值，对角化，以及二次型的理论就是上面这个线段扭转问题的进一步研究。此外，二次型的相关理论还可以帮忙我们回覆二次曲线和曲面分类的问题。具体可见任何一本尺度的线性代数教材，例如丘维声的书，这里不再赘述。
3. 案例 3：高维数据降维与聚类
这个案例和笔者的专业很是相关了。素质上来说是数理统计与线性代数的交叉。
当前生物研究中有一个很是前沿的手艺，叫做单细胞转录组测序。例如我们可以从人身上抽外周血，进行单细胞测序，这些测序数据在颠末一系列的处置之后，最终会获得一个称之为表达矩阵的对象，此中每一行对应一个基因，每一列对应一个细胞，所以这个数据真的是一个矩阵。若是读者看过《工作细胞》的话，或许知道外周血里有很多分歧类型的细胞，好比 T 细胞， B 细胞，这些细胞之所所以分歧的，真的是因为他们形态和功能特异。那么我们会问，可否从这么多细胞的表达谱将分歧的细胞类型找出来呢。当然是可以的。