小学数学到底应该学什么?( 七 )


我们来具体阐发一下初中生起首接触的用字母表达的数学 。 最根基的有两个方面:恒等式与方程 。 恒等式如a+b=b+a;方程如 3x+4=10 。 因为它们都还可以用“数”来诠释 , 良多人没有理解它们都已超出了“数”的规模 。 前者可以用说话论述为“两个数相加 , 互换加数的次序 , 和不变”;后者可以用说话论述为“有一个数 , 它的 3 倍加 4 等于 10” 。 然而在逻辑上 , 它们都比数的运算升了一级 。
具体说 , 恒等式 a+b=b+a 的完整论述是“对肆意两个数 a,b 都有a+b=b+a”;而方程 3x+4=10 的完整论述是“有一个数 x 使得 3x+4=10” 。 这里关头是有了谓词“肆意”(即“一切”) 或“有”(即“存在”) 。 我们知道谓词演算是比命题演算高一级的逻辑运算 。
不睬解谓词 , 现实上并没有真正大白恒等式与方程 。 这是初中代数的理解坚苦的根基原因 。
但对于进一步进修数学 , 这一步是必需迈出的 。 初中平面几何中的命题经常都有两个谓词 , 如“过两点有一条直线” , 完整的论述是“对平面中的肆意两个点A,B,存在一条直线 ? 使得 A,B 都在 ? 上” 。 在微积分中的命题经常有三个谓词 , 如数列极限

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的完整论述是“对肆意正实数ε , 存在一个正整数N , 使得对肆意整数 n>N 有
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?” 。 在更深是数学如实变函数论或概率论中 , 还可以看到有四个甚至五个谓词的命题 。 由此可见 , 若是连只含一个谓词的语句都不睬解 , 是无法进修更深的数学的 。
为了让孩子们迈过这个坎 , 仍需要教育者有足够的耐烦 。
上面所说的从小学数学到中学数学的过渡 , 需要在小学期间就做筹办 , 本家儿要就是对于恒等式和方程的筹办 。 由上所述可见 , 这现实上已经超越了进修天然数的规模 。
在这方面有良多讲授经验值得阐发和总结 。 下面讲一些具体方式 。
对于简单的恒等式 , 可以先不消字母表述 。 例如上面的加法互换律 , 若是学生完全大白了 , 再理解 a+b=b+a 就只是从文字表述到用公式表述的转换 。
对于方程 , 则可以先多做应用题 , 例如买一样工具已知单价 3 元付了 10 元找回 4 元 , 问买了几件 。
小学里的应用题有些较复杂也较难 , 并且有一些常见题型 , 如行程问题、工程问题等 。 良多应用题可以转化为方程 。 这里举人们经常会商且争议颇多的“鸡兔同笼”为例 。
鸡兔同笼原本是我国古代用于熬炼学生解题能力的问题 , 例如“今有雉兔同笼 , 上有三十五头 , 下有九十四足 , 问雉兔各几何?”这里不问可知每只鸡有两条腿而每只兔有四条腿 。
汗青上(甚至直到今天)这个习题一向不竭地受到进犯、贬低和奚落 , 罪名如“牵强附会” , “理论离开现实” , “为什么要把鸡和兔子关在统一个笼子里”等等 。 在文化大革射中甚至被说当作是反革命的(参看例如片子《标的目的阳院的故事》) 。 其实农人把鸡和兔装到统一个笼子中拿到市场上去卖 , 是很泛泛的事(见照片) 。
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